Сферические и плоские гармонические волны

Сферическая волна, распростра­няющаяся от точечного источника в однородной среде со ско­ростью v, описывается уравнением

f(t — r / v) / r.

Здесь f(r, t) — возмущение в момент времени t в точке, отстоящей на рассто­яние r от источника, а f(t) — функция, описывающая возму­щение в источнике.

Если возмущение в источнике описывается гармонической функцией

f(t) = f₀ sin(ωt + φ),

то уравнение плоской синусоидальной волны, бегущей в поло­жительном направлении оси x, имеет вид:

f(х, t) = f₀ sin (ωt — kx + φ).

Величина k = ω / v называется вол­новым числом, ω — циклическая частота, f₀ — амплитуда волны. Ес­ли возмущение описывается век­торной функцией f̅, то и амплитуда волны f̅₀ тоже вектор. В общем слу­чае в плоской волне, распространя­ющейся в направлении, задавае­мом вектором k̅, возмущение в точке пространства, задаваемой радиус-вектором r̅, в момент вре­мени t дается выражением:

f(r̅, t) = f₀ sin(ωt — k̅ × r̅ + φ).

Вектор k̅ называют волновым вектором, его модуль равен волновому числу: |k̅| = k. Наименьший интервал времени T, через который повторяется значение величины f в точке наблюдения, называется периодом волны: T = 2π / ω. Наи­меньшее расстояние λ между двумя точками на прямой, па­раллельной вектору k̅, в которых значение величины f оди­наково в любой момент времени, называется длиной волны, λ = 2π / k. Очевидно, что λ — это то расстояние, которое про­ходит волна за период, т. е. λ = vT.

Сферическая гармоническая волна описывается уравнени­ем:

f(r̅, t) = f₀ × sin (ωt — k × r + φ) / r.

Названия и формулы для величин ω, k, T, λ такие же, как и в случае плоских волн.

Выражение, стоящее под зна­ком синуса в уравнении пло­ской или сферической волны, называется фазой волны. Гео­метрическое место точек, в ко­торых фаза колебаний величи­ны f одинакова, называется фазовой или волновой поверх­ностью. Если волна распро­страняется в однородной сре­де, то формы фазовой и фронтальной поверхностей совпадают. Скорость движения поверхности равной фазы называется фазовой скоростью волны. В плоской волне лю­бая поверхность равной фазы, задаваемая уравнением Материал с сайта http://worldof.school

φ(r̅, t₁) = ωt — k̅ × r̅ + φ = const,

есть плоскость, перпендику­лярная вектору k̅. Она движется со скоростью v_ф = ω / k в направлении распространения волны, т. е. фазовая ско­рость — это та величина, которую раньше мы назвали про­сто скоростью распространения волны. Уравнение фазовой поверхности для сферической волны имеет вид:

φ(r, t₁) = ωt — kr + φ = const.

Это уравнение расширяющейся сферы, причем скорость расширения

ṙ = v_ф = ω / k.

На этой странице материал по темам:

• Плоские и сферические волны

• Сферические и плоские, статические волны

• Сферические и плоские волны.