Резонансные параметрические колебания (параметрический резонанс, зона неустойчивости)

Если спросить: «Что такое параметрический резонанс?» — подавляющее большинство ответит: «Не знаю». Но если спросить: «Умеете ли вы раскачиваться на качелях? » — каж­дый уверенно скажет: «Конечно, умею». И лишь немногие, сказав «умею», смогут добавить: «Это очень просто, нужно лишь с правильной частотой изменять положение центра масс системы «я и качели». Те, кто так скажет, знают, что та­кое параметрический резонанс.

Параметрические колебания — это колебания, вы­зываемые изменением в результате внешнего воздействия параметров ω₀ и β колебательной системы. При изменении этих параметров внешняя сила совершает работу, а значит, меняется энергия колебательной системы. Меняется также и частота колебаний. Различают резонансные и нерезонанс­ные параметрические колебания.

При резонансных параме­трических колебаниях параметры системы меняются перио­дически. Если вкладываемая энергия превосходит потери энергии, колебания в сис­теме будут нарастать. Вло­жение энергии (накачка) может происходить один или несколько раз за пери­од колебаний. Если частота вложений Ω связана с соб­ственной частотой колеба­ний системы ω соотноше­нием Ω = 2ω / n = Ω_nРЕЗ, где n = 1, 2, 3…, может произойти резкое увеличе­ние амплитуды колебаний, система начнет «раскачи­ваться». Это явление назы­вается параметрическим резонансом.

Наиболее быстро раскачка системы происходит, когда частота накачки энергии равна частоте колебаний энер­гии в системе:

Ω = 2ω (n = 1).

Зоны неустойчивости: а — для консервативных систем (без затухания); б — для диссипативных систем (с затуханием)

Быстрое увеличение амп­литуды колебаний происходит не только при частоте на­качки Ω, точно равной одной из резонансных частот Ω_nРЕЗ, но и при частотах Ω, лежащих в некоторой окрест­ности Ω_nРЕЗ, называемой зоной неустойчивости. Шири­на зоны неустойчивости тем больше, чем больше из­менение параметров колебаний. Периодическое изменение любого параметра колебаний p (это может быть длина маятника, емкость конденсатора, упругость пружины, индуктивность и т. д.) характеризуют глу­биной модуляции параметра

m = (p_max — p_min) / (p_max + p_min),

где p_max и p_min — максимальное и минимальное значения параметра p. Параметрический резонанс воз­можен при определенном соотношении частот Ω и ω, и только в том случае, если m превышает некоторое поро­говое значение. Эти условия и определяют границы зон неус­тойчивости.

Параметрические колебания математического маятника. (Реактивными параметрами являются длина l и масса m.)

Раскачиваясь на качелях, мы, если качаемся сидя, поджимаем и выпрямля­ем ноги в такт колебаний, а если стоим, то приседа­ем в крайнем положении и выпрямляемся, проходя среднее положение. Стоя на качелях, лучше всего раскачиваться вдвоем. Тогда каждый поочередно приседает в наивысшей точке своего подъема и выпрямляется в самой нижней точке качания. Так можно раскачаться настолько, что качели сделают полный оборот. Часто на них даже ставят специальный ограничи­тель. Но сначала качели нужно все-таки чуть-чуть подтолкнуть или, если вы просто спокойно сидели на них, хотя бы слегка от­клониться, чтобы качели вышли из положения рав­новесия. Раскачивание на качелях — классический пример параметрическо­го возбуждения колеба­ний.

В зонах неустойчивости происходит нарастание малых на­чальных возмущений, например флуктуаций, которые всегда присутствуют в любых системах. Увеличение амплитуды при параметрическом резонансе не может продолжаться до бес­конечности. При некоторой амплитуде колебания в системе становятся нелинейными, и нелинейные эффекты приводят к нарушению резонансных условий. Система выходит из зо­ны неустойчивости. Наступает равновесие, при котором па­раметрическая накачка энергии компенсирует ее потери. Но параметрическое возбуждение колебаний возможно только при изменении так называемых энергоемких (или реактив­ных) параметров, характеризующих те элементы колебатель­ной системы, в которых сосредоточивается энергия колеба­ний. Материал с сайта http://worldof.school

Параметрические колебания физической величины A описываются уравнением

Ä + 2β(t)Ȧ + ω²₀(t)A = 0.

Общий анализ решения таких уравнений достаточно сложен, поэто­му приведем основные особенности решений для частного случая, описываемого уравнением

Ä + 2βȦ + ω²₀(1 + mcosΩt)A = 0,

где β и ω₀ — постоянные параметры. В консерва­тивных системах параметрический резонанс может возник­нуть при любых, даже ничтожно малых, изменениях пара­метров, вершины зон неустойчивости лежат на прямой m = 0. В неконсервативных системах вершины зон неустой­чивости лежат на прямой m = 4βω / Ω, поэтому при достаточ­но малых изменениях параметров системы параметрический резонанс не возникает ни при какой частоте изменения пара­метров.

Это связано с тем, что потери энергии в системе превышают ее энергетическую подпитку.

На этой странице материал по темам:

• Параметрические неустойчивости плазмы

• История физики теория резонанса

• Параметрические колебания формула

• Реферат на тему теория колебаний

• Параметрический резонанс