Теория колебаний
Резонансные параметрические колебания (параметрический резонанс, зона неустойчивости)
Если спросить: «Что такое параметрический резонанс?» — подавляющее большинство ответит: «Не знаю». Но если спросить: «Умеете ли вы раскачиваться на качелях? » — каждый уверенно скажет: «Конечно, умею». И лишь немногие, сказав «умею», смогут добавить: «Это очень просто, нужно лишь с правильной частотой изменять положение центра масс системы «я и качели». Те, кто так скажет, знают, что такое параметрический резонанс.
Параметрические колебания — это колебания, вызываемые изменением в результате внешнего воздействия параметров ω0 и β колебательной системы. При изменении этих параметров внешняя сила совершает работу, а значит, меняется энергия колебательной системы. Меняется также и частота колебаний. Различают резонансные и нерезонансные параметрические колебания.
При резонансных параметрических колебаниях параметры системы меняются периодически. Если вкладываемая энергия превосходит потери энергии, колебания в системе будут нарастать. Вложение энергии (накачка) может происходить один или несколько раз за период колебаний. Если частота вложений Ω связана с собственной частотой колебаний системы ω соотношением Ω = 2ω / n = ΩnРЕЗ, где n = 1, 2, 3…, может произойти резкое увеличение амплитуды колебаний, система начнет «раскачиваться». Это явление называется параметрическим резонансом.
Наиболее быстро раскачка системы происходит, когда частота накачки энергии равна частоте колебаний энергии в системе:
Ω = 2ω (n = 1).
Зоны неустойчивости: а — для консервативных систем (без затухания); б — для диссипативных систем (с затуханием) |
Быстрое увеличение амплитуды колебаний происходит не только при частоте накачки Ω, точно равной одной из резонансных частот ΩnРЕЗ, но и при частотах Ω, лежащих в некоторой окрестности ΩnРЕЗ, называемой зоной неустойчивости. Ширина зоны неустойчивости тем больше, чем больше изменение параметров колебаний. Периодическое изменение любого параметра колебаний p (это может быть длина маятника, емкость конденсатора, упругость пружины, индуктивность и т. д.) характеризуют глубиной модуляции параметра
m = (pmax — pmin) / (pmax + pmin),
где pmax и pmin — максимальное и минимальное значения параметра p. Параметрический резонанс возможен при определенном соотношении частот Ω и ω, и только в том случае, если m превышает некоторое пороговое значение. Эти условия и определяют границы зон неустойчивости.
Параметрические колебания математического маятника. (Реактивными параметрами являются длина l и масса m.) |
Раскачиваясь на качелях, мы, если качаемся сидя, поджимаем и выпрямляем ноги в такт колебаний, а если стоим, то приседаем в крайнем положении и выпрямляемся, проходя среднее положение. Стоя на качелях, лучше всего раскачиваться вдвоем. Тогда каждый поочередно приседает в наивысшей точке своего подъема и выпрямляется в самой нижней точке качания. Так можно раскачаться настолько, что качели сделают полный оборот. Часто на них даже ставят специальный ограничитель. Но сначала качели нужно все-таки чуть-чуть подтолкнуть или, если вы просто спокойно сидели на них, хотя бы слегка отклониться, чтобы качели вышли из положения равновесия. Раскачивание на качелях — классический пример параметрического возбуждения колебаний.
В зонах неустойчивости происходит нарастание малых начальных возмущений, например флуктуаций, которые всегда присутствуют в любых системах. Увеличение амплитуды при параметрическом резонансе не может продолжаться до бесконечности. При некоторой амплитуде колебания в системе становятся нелинейными, и нелинейные эффекты приводят к нарушению резонансных условий. Система выходит из зоны неустойчивости. Наступает равновесие, при котором параметрическая накачка энергии компенсирует ее потери. Но параметрическое возбуждение колебаний возможно только при изменении так называемых энергоемких (или реактивных) параметров, характеризующих те элементы колебательной системы, в которых сосредоточивается энергия колебаний. Материал с сайта http://worldof.school
Параметрические колебания физической величины A описываются уравнением
Ä + 2β(t)Ȧ + ω20(t)A = 0.
Общий анализ решения таких уравнений достаточно сложен, поэтому приведем основные особенности решений для частного случая, описываемого уравнением
Ä + 2βȦ + ω20(1 + mcosΩt)A = 0,
где β и ω0 — постоянные параметры. В консервативных системах параметрический резонанс может возникнуть при любых, даже ничтожно малых, изменениях параметров, вершины зон неустойчивости лежат на прямой m = 0. В неконсервативных системах вершины зон неустойчивости лежат на прямой m = 4βω / Ω, поэтому при достаточно малых изменениях параметров системы параметрический резонанс не возникает ни при какой частоте изменения параметров.
Это связано с тем, что потери энергии в системе превышают ее энергетическую подпитку.
Лекция по параметрическому резонансу
История физики теория резонанса
Зарезонансная зона
Реферат на тему теория колебаний
Параметрические неустойчивости плазмы