Механические колебания

Примеры колебательных систем

Тело совершает гар­монические колебания, если действующая на него ре­зультирующая сила F̅_ВОЗВР пропорциональна смещению из положения равновесия r̅ и все время стремится вер­нуть его в это положение:

F̅_ВОЗВР = -kr̅.

При этом потенциальная энергия тела равна

U = kr² / 2.

Тог­да второй закон Ньютона для тела массой m будет иметь вид:

mr̅̈ = -kr̅,

или

r̅̈ + ω₀²r̅ = 0,

откуда следует, что тело совер­шает гармонические колебания с частотой

ω₀ = √(k / m).

Закон движения тела запишется так:

r̅(t) = r̅₀sin(ω₀ + φ₀).

Человек слышит, ощущая удары о перепонку колеблющихся в звуковой волне молекул воздуха

Амплитуда r̅ и начальная фаза φ₀ определяются начальны­ми условиями, т. е. тем, как возбуждались колебания. Ско­рость и ускорение тела также меняются по гармоническо­му закону:

v̅(t) = v̅sin(ω₀t + φ₀ + π / 2),

a̅(t) = a̅₀sin(ω₀t + φ₀ + π).

Амплитуда скорости:

v̅₀ = ω₀r̅₀,

а амплитуда ускорения:

a̅₀ = ω₀²r̅₀,

Потенциальная энергия тела

Коэффициент k возвращающей силы различен для разных систем, например: для подвешенного на пружине шарика k — жесткость пружины, а для плаваю­щего «торчком» в водоеме бревна k = ρgS, где ρ — плотность воды, g — уско­рение свободного падения, S — площадь сечения бревна. Для тонкого поршня, разделяющего в горизонтальном сосуде на две равные части газ массой M и мо­лярной массой m, k = 4MRT / μl2, где R — универсальная газовая постоянная, l — длина сосуда, а T — температура газа, которая остается постоянной в процессе колебаний поршня. Приведенные при­меры имеют существенные различия. Бревно при любых отклонениях от поло­жения равновесия будет совершать гар­монические колебания. Колебания ша­рика на пружине будут гармоническими до тех пор, пока выполняется закон Гука. А колебания поршня в сосуде близки к гармоническим только при малых коле­баниях поршня, когда его смещение от положения равнове­сия много меньше длины сосуда. Вообще, ни при какой амп­литуде колебания поршня не описываются синусоидой. Точно так же, только приближенно, гармоническими мож­но считать малые колебания маятника. Математический ма­ятник — это маленький грузик, подвешенный на нерастя­жимой невесомой нити, длина l которой много больше размеров грузика. Маятник совершает колебания в поле тя­жести. Точное уравнение движения для утла φ отклонения нити маятника от вертикали имеет вид:

φ̈ + ω₀²sinφ = 0, Материал с сайта http://worldof.school

Математический маятник

где ω₀ = √(g / l), и только при φ << 1 (φ измеря­ется в радианах) оно переходит в уравнение гармонических колебаний

φ̈ + ω₀²φ = 0.

В рассмотренных примерах считалось, что колеблющее­ся тело не испытывает сопро­тивления со стороны среды, в которой происходят колеба­ния. Если на колеблющееся тело действует сила трения, пропорци­ональная скорости F̅_ТР = -αr̅ (вязкое трение), тело будет со­вершать затухающие гармонические колебания с коэффици­ентом затухания β = α / 2m. При этом амплитуда колебаний будет уменьшаться бесконечно долго по экспоненциальному закону. Если же действует постоянная сила трения F̅_ТР, то амп­литуда колебаний будет убывать, уменьшаясь на Δr₀ = 4F̅_ТР / k за каждый период. Колебания в этом случае прекратятся через конечное время, как только отклонение в крайней точке ока­жется меньше, чем F̅_ТР / k.

На этой странице материал по темам:

• Реферат на тему теория колебаний

• Гдз по физике механические колебания

• Теория колебаний реферат

• Механические колебания краткий конспект