Основное уравнение МКТ (молекулярно-кинетической теории). Давление идеального газа

Согласно модели идеального газа молекулы все время находятся в беспо­рядочном движении, сталкиваются между собой и со стенками сосуда, в котором пре­бывают. В момент столкновения молекулы со стенкой она действует на нее с силой, им­пульс которой, согласно второму закону Нью­тона, равняется изменению ее импульса (количества движения): F̅t = Δ(m͞v). Это значит,  что изменение модуля импульса всех мо­лекул ΣΔ(mv_i) при ударе равнозначно дей­ствию усредненного значения силы F̅ в течение времени t. Это суммарное действие молекул вызывает давление газа, которое по определению равно p = F / S.

Давление газа вызывают уда­ры о стенку сосуда большого количества молекул, передаю­щих ему импульс.

Рассмотрим идеальный газ, который на­ходится в сосуде объемом V. Для простоты расчетов выберем его в форме параллеле­пипеда (рис. 1.15). Пусть в нем находится N молекул массой m₀ каждая; их концентра­ция равна n = N / V. Поскольку молекулы дви­жутся беспорядочно (условие динамичес­кого хаоса для идеального газа), то до­статочно определить давление на одну из стенок, поскольку на другие стенки мо­лекулы будут создавать такое же давление. Для простоты изложения сначала будем счи­тать, что все они имеют одинаковые ско­рости V.

Представим отдельный слой газа, перпенди­кулярный координатной плоскости ZY. В си­лу хаотичности движения количество моле­кул, влетающих в этот слой справа, равня­ется количеству молекул, вылетающих из него слева. Очевидно, что и те и другие передают данному слою импульс: влета­ющие слева (рис. 1.16) несут импульс m₀v_x, где v_x — проекция скорости на ось Х; вы­летающие из него выносят импульс —m₀v_x, в целом передавая ему импульс 2m₀v_x. Итак, со стороны всех молекул Z, влетающих в отдельный слой, стенка получает импульс 2Zm₀v_x.

Рис. 1.15. Передача молекул газа им­пульса стенке сосуда

Рис. 1.16. Упругий удар молекулы в стен­ку

Количество молекул Z, которые сталки­ваются со стенкой площадью S за время t, можно определить по их концентрации в объеме отдельного слоя: Z = nv_xtS, где n — концентрация молекул. Поскольку к стенке долетают лишь те молекулы, которые имеют положительную проекцию скорости на ось X (v_x > 0), то их количество будет составлять половину от числа молекул, пересекающих плоскость отдельного слоя газа:

Z = nv_xtS / 2.

Итак, со стороны всех молекул, нахо­дящихся в отдельном слое, стенка получает общий импульс:

F_xt = 2 • nv_xtSm₀v_x / 2.

Разделив левую и правую части равен­ства на St, получим:

F_x / S = p = nm₀v²_x.

Предположения, что скорости всех мо­лекул одинаковы, было сделано с целью упрощения вывода уравнений. На самом же деле диапазон их значений довольно широк — от 0 до определенного максималь­ного значения v_max. Поэтому в предыдущем уравнении для определения давления газа правильнее будет брать средний квадрат проекции скорости v_x. Тогда оно будет иметь вид:

p = nm₀v̅²_х.

Понятно, что аналогичные соображения будут справедливы для стенок, лежащих в других координатных плоскостях:

p = nm₀v̅²_y,

p = nm₀v̅²_z.

Средний квадрат скорости имеет смысл среднестатистического значения скорости. Материал с сайта http://worldof.school

Очевидно, что вследствие хаотического движения молекул v̅²_x = v̅²_y = v̅²_z. По мате­матическому определению средний квадрат скорости равен v̅² = (v̅²_x + v̅²_y + v̅²_z). Отсюда v̅²_x = (1 / 3) • v̅². Подставив это выражение в урав­нение p = nm₀v̅²_х, получим окончательное уравне­ние для определения давления идеального газа:

p = (1 / 3) • nm₀v̅².

Эта формула является основным уравне­нием молекулярно-кинетической теории (МКТ) иде­ального газа, которое определяет связь меж­ду макропараметром термодинамической си­стемы — давлением идеального газа и харак­теристиками его микроскопического состо­яния. Таким образом, оно определяет дав­ление газа как статистическую величину по­средством микропараметров системы — кон­центрации, массы и скорости молекулы.

Поскольку nm₀ = ρ, где ρ — плотность газа, основ­ное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа будет иметь еще и такой вид:

p = (1 / 3) • ρv̅².

Основное уравнение MKT яв­ляется мостиком между двумя подходами в толковании теп­ловых явлений и процессов — термодинамическим и молеку­лярно-кинетическим.

На этой странице материал по темам:

• Решебник физики мкт

• Доклал оснлвное ураанение молекулярно кинетической теории газоы кратко

• Идеальный газ лекция основное уравнение мкт

• Как изменяется импульс слоя газа за счет молекул вылетающих в него

Вопросы по этому материалу:

• Чем объясняется давление газа в МКТ?

• Как изменяется импульс слоя газа за счет молекул, влетающих в него?

• От чего зависит количество молекул в отдельном слое?

• Какой смысл имеет средний квадрат скорости?

• Почему мы используем понятие среднего квадрата скорости?

• Почему уравнение давления идеального газа называют основ­ным уравнением МКТ?