Движение точки вдоль заданной кривой

Многие случаи движения, представляющие практиче­ский интерес, моделируют движением точки. Но реше­ние этой задачи дает ключ к решению и более сложной про­блемы — описанию движения произвольных протяженных тел, поскольку любое из них может быть представлено как совокупность точек.

Движение точки вдоль заданной кривой является про­стейшим случаем движения. Рассмотрим реальную ситуа­цию: автомобиль движется по известному шоссе из пункта A в пункт B. Как её можно описать математически? Прежде всего, упростим картину. Автомобиль заменим (смоделируем) точкой, а шоссе — кривой в пространстве, потому что нас интересует, как движется автомобиле по шоссе, в какие моменты времени он проходит через опре­деленные пункты. Теперь вместо движущегося по шоссе автомобиля мы рассматриваем движение точки по задан­ной кривой.

Некоторую точку O кривой выберем в качестве начала от­счета. Зададим (произвольно) положительное направление вдоль кривой. Положение некоторой точки P на кривой полностью определяется одним числом, например величи­ной s — длиной части кривой между точками O и P. Счита­ется, что при s > 0 точка P сдвинута на расстояние s от точ­ки O в положительном направлении кривой, а при s < 0 — в противоположном направлении.

Введем теперь в рассмотрение время. Ясно, что каждо­му моменту времени t соответствует некоторое значе­ние s. Такое соответствие в математике называется функцией и записывается так:

s = f(t).

Под f подразумевают некоторое правило, согласно ко­торому каждому значению t из области определения функ­ции ставится в соответствие значение s. Это правило мо­жет быть задано таблицей либо для достаточно простых случаев формулой. Будем называть s координатой движу­щейся точки.

Имея такую функцию, мы можем дать определение движению:

если ко­ордината точки s меняется с течением времени, точка движется.

Каким образом можно фактически получить функцию s = f(t)? (Напом­ним, что физика оперирует лишь на­блюдаемыми величинами.) Очень просто. Пусть у каждого километро­вого столба вдоль шоссе стоят наблю­датели с часами, и каждый из них по своим часам фиксирует момент про­хождения автомобилем своего столба. В результате мы со­ставим таблицу, в которой определенным значениям s соответствуют определенные значения t. Это непосредст­венный и безукоризненный способ получения функции, описывающей движение.

График функции, описывающей движение автомобиля

Автомобиль отправился из начального пункта в момент t = 0, к моменту времени t₁ достиг точки s₁ и остановился, при t₂ двинулся дальше и к мо­менту t₃ достиг точки s₂, в которой на мгновенье остановился и повернул. В момент t₄ он возвратил­ся в исходный пункт и, не останавливаясь, продол­жил движение в обрат­ном направлении.

Наглядное представление о функции дает график.

Функция s = f(t) полностью описывает движение точки вдоль кривой. Непрерывность этой функции означает, что разность ее значений Δs для двух моментов времени, разде­ленных малым промежутком Δt, прямо пропорциональна величине промежутка, и это правило выполняется тем точ­нее, чем меньше промежуток. Не все функции, рассматри­ваемые математиками, таковы, но функции, описывающие движение материальных тел, обладают этим свойством, что гарантируется законами природы. Физически это означа­ет, что невозможна ситуация, при которой реальное тело в данный момент времени находится здесь, а в следующий момент окажется на Марсе. Запишем формулу:

Δs = v(t)Δt,

где Δs — путь, пройденный точкой за малое время Δt. Материал с сайта http://worldof.school

Коэффициент пропорциональности между перемещением и вре­менем зависит от того, как быстро движется точка, и называ­ется скоростью.

Скорость точки имеет определенное значение в каждый момент времени, т. е. является функцией времени. Функция s = f(t) полностью определяет скорость точки в каждый момент времени. Скорость есть производная этой функции. v(t) = f(t) = ds/dt. Если параметр s во времени растет, скорость положительна, убывает — отрицательна. Имеется фундаментальный закон природы, управляющий ускорением тела (не положением, не скоростью, а именно ускорением). С открытия этого закона и началась физика как наука в современном понимании этого слова. Закон позволяет найти функцию a = a(t), а зная ее, можно чисто математическими методами получить функцию s = s(t), т. е. предсказать, как будет двигаться объект.

На этой странице материал по темам:

• Движение вдоль кривой заданной точками