Тепловые колебания атомов кристаллической решетки

Нормальному колебанию в кристаллической решетке отвечает стоячая волна, устанавливающаяся в объеме твердого тела. Энергия тепловых колебаний 1 моля кристалла при таком подходе определится как сумма энергии всех звуковых волн, рас­пространяющихся в объеме, занятом этим молем.

При подсчете энергии звуковых волн необходимо учесть еще одно важное обстоятельство.

Энергия звуковой волны, как и энергия всяких колеба­ний, квантуется в соответствии с формулой

E_n = hω(n + ½).

Это означает, что превышение энергии волны над уровнем нулевых колебаний,

E₀ = hω / 2,

E_n — E₀ = hωn,

можно пред­ставлять себе в виде n квантов, каждый из которых несет энергию hω. По аналогии с квантами света — фотонами — кванты звука получили название фононы.

Таким образом, тепловые колебания атомов кристалличе­ской решетки могут быть описаны как идеальный бозон­ный газ невзаимодействующих фононов.

Представление тепловых колебаний решетки в виде фононного газа намного проще первоначальной картины колебаний огром­ного числа периодически расположенных атомов, совершающих связанные колебания относительно положений равновесия. Как следствие простоты картины, появляется воз­можность расчета тепло­вых свойств кристалла в широком диапазоне тем­ператур.

Фононы, «живущие» в кристаллической решетке, отлича­ются частотой, так как возникают из нормальных колеба­ний разных типов. Максимальная частота колебаний ре­шетки ω_max отвечает минимально возможной длине волны λ_min, которая, очевидно, равна 2d, где d — расстояние меж­ду соседними атомами в решетке.

Волна, длина которой меньше удвоенного межатомного расстояния, не имеет физического смысла!

Если обозначить скорость звука V, то

ω_max = 2πV / λ_min = nV / d.

Число фононов не сохраняется — чем выше температура кристалла, тем больше число «населяющих» ее фононов. Из несохранения числа фононов следует, что их химиче­ский потенциал равен нулю: μ = 0, а следовательно, сред­нее число фононов с энергией E_i определяется распределе­нием Бозе-Эйнштейна вида: Материал с сайта http://worldof.school

<n_i> = 1 / (exp(E_i / kT) — 1).

Полная тепловая энергия 1 моля кристаллической решетки может быть найдена по общим правилам статистической физики как сумма

E = Σ^m_i=1E_i<n_i>Г_i,

где Г_i — статистический вес энергии E_i, т. е. число состоя­ний с такой энергией в 1 моле кристалла. Индекс m соответ­ствует энергии фононов с максимально возможной часто­той ω_max.

На этой странице материал по темам:

• Тепловые колебания атомов в кристаллической решётке

• Колебания атомов в кристаллической решетке доклад

• Тепловые колебания кристаллической решетки физика