Волновые пакеты

Из математики известно, что, складывая достаточно большое (на самом деле бесконечно большое) чис­ло синусоидальных волн с различными длинами волн и соответствующим обра­зом подобранными амп­литудами, можно сформи­ровать так называемый волновой пакет — волну, локализованную в ограни­ченной области простран­ства. (Импульс радиолока­тора представляет собой такой пакет электромаг­нитных волн.)

Состояние частицы, в наибольшей степени соответствую­щее представлениям классической механики, задается волновым пакетом.

Волновой пакет — волновое образование, локализо­ванное в ограниченной области пространства.

Волновой пакет можно представить как результат на­ложения большого числа плоских волн с различными дли­нами. Это состояние характеризуется средним значением импульса частицы, причем скорость, с которой движется пакет, связана с этим значением так же, как связаны ско­рость и импульс частицы в классической механике.

Суперпозиция состояний с различными импульсами может дать состояние, в котором волновая функция частицы будет отлична от нуля в ограниченной области пространства. Раз­меры этой области будут соответствовать неопределенно­стям координат частицы, а при измерении импульса с соот­ветствующими вероятностями будут получаться различные значения импульса. Отсюда чисто математически можно вывести соотношения неопределенностей.

Волновой пакет в наибольшей степени соответствует клас­сическому представлению о частице. Это более или менее локализованное в пространстве об­разование, для которого функция |ψ|² (плотность вероятности) отлич­на от нуля в ограниченной области пространства, перемещающейся в пространстве с некоторой скоро­стью. Если определить среднее зна­чение импульса частицы <p̅> в рас­сматриваемом состоянии, то окажется, что волновой пакет движется в пространстве со скоростью

v̅ = <p̅> / m.

Так перебрасывается мостик от квантовой механики к классической. Макроскопической частице соответствует хорошо локализованный волновой пакет, движущийся по законам классической механики. Размеры этого пакета много меньше характерных размеров рассматриваемых механических систем, и волновые свойства частиц не про­являются.

Волновой пакет. Чем меньше длина пакета Δx, тем больше синусоидальных волн с различными значениями участвуют в его создании. (Волновые числа k лежат в интервале [k0 — Δk / 2, k0 + Δk / 2], причем Δk ~ 1 / Δx)

Если мы измерим координату центра масс пули массой 10 г с точностью Δx ≈ 10^-6 м (для пули это очень высокая точность!), то для неопределенности в ее скорости будем иметь: Материал с сайта http://worldof.school

Δv ≈ Δp / m ≈ ђ / mΔx ≈ 10^-34 / 10^-2 × 10^-6 = 10^-26 м/с.

Это ограни­чение на точность измерения скорости пули, даваемое кван­товой механикой. Ясно, что ни в каких мыслимых реальных условиях это ограничение не проявится.

Существование более или менее хорошо локализо­ванных состояний, пред­ставляемых волновыми пакетами, позволяет по­нять, почему в некоторых ситуациях траектории эле­ментарных частиц могут рассчитываться по зако­нам классической механи­ки и, более того, экспери­ментально наблюдаться в виде так называемых тре­ков частиц в фотоэмуль­сиях, камере Вильсона или пузырьковых камерах.