Распределение Больцмана. Как изменяется давление воздуха с высотой?

Если на молекулы газа действует постоянная сила, то как они будут распределены в пространстве? Ответ на этот вопрос имеет большое теоретическое значение, так как мо­делирует общую ситуацию, описываемую распределением Больцмана.

Газовый «коктейль», которым мы дышим, называется воздухом. Молекулы воздуха находятся в гравитационном поле Земли. Если бы гравитационное поле отсутствовало, то вся атмосфера Земли быстро бы улетучилась в космос. Если молекулы воздуха были бы неподвижны относительно Зем­ли, то все они располагались бы на ее поверхности. Тепловое движение, «жонглируя» молекулами, приводит их к некото­рому неравномерному распределению по высоте. Уменьше­ние числа молекул по мере удаления от Земли является при­чиной понижения давления воздуха с высотой.

Попробуем объяснить это явление в рамках простой моде­ли идеального газа. Предположим для простоты, что грави­тационное поле Земли однородное (т. е. Земля — плоская). Запишем условие равновесия маленького столбика возду­ха, имеющего высоту dz, площадь сечения S и содержащего внутри себя dN молекул средней массы m при температуре T. Пусть давление газа на «дне» столбика равно p, а на его «крышке» составляет p + dp. Тогда вес столбика газа и сила давления со стороны вышележащих слоев газа должны быть уравновешены силой давления со стороны нижележа­щих слоев:

pS — (p + dp)S — mgdN = 0.

Мензурка, содержащая воздушную смесь. Цветными шариками изображены компоненты сухого воздуха (газы); в воздухе присутствуют также водяные пары и частички пыли

Количество молекул воздуха dN внутри рассматриваемого столбика газа можно подсчитать, исходя из концентрации молекул n и объема столбика Sdz:

dN = nSdz.

Воспользуем­ся уравнением состояния идеального газа, и выразим концентрацию через давление и тем­пературу:

n = p / kT.

Подставив соотношения в уравнение равновесия, получим:

dp / p = -mgdz / kT.

Предположим, что температура воздуха не меняется при изменении высоты (это сильно упрощает решение!). Тогда, интегрируя последнее уравнение и учитывая, что на по­верхности Земли (z = 0) давление воздуха равно p₀, оконча­тельно запишем барометрическую формулу:

p = p₀exp(-mgz / kT).

Отсюда сразу же (p = nkT) следует, что концентрация моле­кул меняется по такому же экспоненциальному закону А. Больцмана (1868 г.):

n(z) = n₀exp(-mgz / kT),

где n₀ — концентрация молекул около поверхности Земли. Так как вероятность обнаружения молекулы на высоте z пропорциональна концентрации молекул n(z), то получен­ное распределение является фактически вероятностной функцией распределения молекул по высоте. Это распре­деление называется распределением Больцмана.

Распределение молекул газа

На любой высоте имеет место максвелловское распределе­ние молекул по скоростям. Однако число молекул с высо­той убывает в соответствии с больцмановским распределе­нием.

Температура газа теперь может быть осмыслена как параметр статистиче­ского распределения мо­лекул не только по скоро­стям, но по высоте. При повышении температуры концентрация молекул уменьшается с высотой не так быстро, как при бо­лее низкой температуре. Случаю бесконечно высо­кой температуры отвечает равномерное распределе­ние газа по высоте. Материал с сайта http://worldof.school

Распределение Больцмана, которое мы рассматриваем при­менительно к распределению молекул воздуха в однород­ном гравитационном поле, имеет гораздо большее значе­ние, чем может показаться исходя из нашего примера. На самом деле такое распределение будет характерно для лю­бых классических частиц, помещенных в силовое поле с потенциальной энергией W(r):

n(r) = n₀exp(-W(r) / kT).

Это могут быть заряженные частицы с зарядом q в электри­ческом поле с потенциалом φ(r):

W(r) = qφ_гр(r)

или звезды шарового скопления массой m в собственном гравитацион­ном поле с потенциалом φ_гр(r):

W(r) = mφ(r).

Величина δ = kT / mg характе­ризует скорость убывания плотности атмосферы с вы­сотой. При подъеме на высо­ту δ плотность газа умень­шается в e раз (e ≈ 2,7). Для воздуха при комнатной тем­пературе эта величина равна примерно 10 км.

На этой странице материал по темам:

• Молекулярная физика конспект