Движение твердого тела. Векторное произведение векторов

Твердое тело состоит из множества точек, и при его дви­жении перемещения разных точек могут быть различ­ными, и, следовательно, различными будут скорости и тра­ектории этих точек.

Подходящей моделью для описания движения многих про­тяженных объектов является концепция твердого тела. Понятие «твердое тело» используется в физике в разных контекстах и в разных смыслах. Применительно к обсужда­емой проблеме твердое тело можно определить как

множе­ство точек, расстояния между которыми не изменяются ни при каких обстоятельствах.

Это, конечно, некоторая аб­стракция. Условие твердости сильно ограничивает возмож­ные типы движения. Из него сразу следует, что проекции векторов скорости любых двух точек твердого тела на пря­мую, проходящую через эти точки, одинаковы.

Проекция вектора на некоторую прямую определяется с по­мощью скалярного произведения. Это операция, которая двум векторам a̅ ставит в соответствие число: a̅ × b̅ = ab cos α, где α — угол между векторами-сомножителями. Через ком­поненты векторов скалярное произведение выражается фор­мулой a̅ × b̅ = a_x • b_x + a_y • b_y+ a_z • b_z. Если n̅ — единичный вектор вдоль прямой, то проекция вектора a̅ на эту прямую равна величине a̅ × n̅.

При движении автомобиля по ровному шоссе скорость его точек одинакова. Но когда автомобиль в результате столкновения вылетает в кювет, его движение значительно усложняется

Оказывается, что произвольное движение твердого тела сводится к двум простым движениям — поступательному и вращательному. Точнее говоря, лю­бое малое смещение твердого тела можно представить как перемещение всех точек те­ла на один и тот же малый вектор и малый по­ворот, причем результат не зависит от поряд­ка, в котором производятся эти операции.

Поворот вокруг фиксированной оси — одно из возможных движений твердого тела. Поворот определяется углом поворота и осью. Угол задается числом, а ось — прямая с опреде­ленной ориентацией в пространстве. Пусть n̅ — единичный вектор (|n̅ | = 1) вдоль оси вращения, который оп­ределяет ориентацию оси и задает на ней положительное на­правление.

Задание вектора n̅ определяет направление поворота с по­мощью правила винта (буравчика): положительному значе­нию угла поворота соответствует ход правого винта в на­правлении вектора n̅.

Поворот определяется тремя числами: два числа задают ось, третье — угол поворота. Эти три числа, однако, не яв­ляются компонентами вектора. Но поворот на малый угол представляется вектором!

Вектор смещения каждой точки твердого тела при малом повороте может быть определен с помощью операции век­торного произведения.

Векторное произведение векторов a̅ и b̅

Векторным произведением векторов a̅, b̅ называется вектор c̅, ортогональный плоскости, в которой лежат векторы a̅, b̅, c̅ модулем, равным: |c̅| = |a̅| × |b̅| • sin φ, где φ — угол между векторами a̅, b̅. Материал с сайта http://worldof.school

Векторное произведение обозначается знаком × или квад­ратными скобками: c̅ = a̅ × b̅ = [a̅b̅].

Направление вектора c̅ определяется правилом правого вин­та: если вектор a̅ (первый сомножитель) вращать по кратчай­шему пути к вектору b̅, то ход правого винта даст направление вектора c̅. Векторное произведение не перестановочно (оно меняет знак при перестановке сомножителей):

a̅ × b̅ = -b̅ × a.

При произвольном движении твердого тела скорость точ­ки O и угловая скорость вращения есть функции времени. Задание этих функций (в общем случае — шести функций, по три на каждый вектор) полностью описывает движение твердого тела.

С точки зрения кинематики выбор точки O произволен. Но если учитывать динамику, то в качестве точки O удобнее брать центр масс тела.

На этой странице материал по темам:

• Кинематика твердого тела 10 класс конспект