Спиновое состояние электрона (спин 1/2)

Спин — собственный момент импульса частицы — это век­тор в обычном трехмерном пространстве. В рамках тео­рии спиновое состояние частицы представляется вектором в абстрактном двумерном пространстве, а компонентам ве­ктора спина соответствуют линейные операторы (матрицы) в этом пространстве.

Спиновое состояние электрона представляется вектором в абстрактном пространстве, а проекции спина на ось z должен соответствовать оператор в этом простран­стве. Нам нужно задать вектор состояния и найти оператор. Чтобы избавиться от лишнего множителя, введем новую переменную.

Положим,

s̅ = (ђ / 2) • σ.

Тогда значениям s_z = ±h̅ / 2 будут соответствовать значения σ_z = ±1. Новую переменную по-прежнему будем называть спином.

На примере спина можно понять, как работает тео­рия. С собственным мо­ментом импульса элект­рона s̅ связан магнитный момент m̅. Наличие магнитного момента у электрона означает, что в магнитном поле он дол­жен вести себя, подобно маленькому магнитику. На магнит в неоднород­ном магнитном поле дей­ствует сила в направлении силовых линий поля, про­порциональная проекции магнитного момента на направление поля. Эта си­ла или втягивает магнит в область с большей напря­женностью поля, или вы­талкивает его, в зависи­мости от знака проекции магнитного момента на направление поля.

Итак, переменная σ_z квантуется и принимает всего два зна­чения. Этим значениям соответствуют два собственных ве­ктора ее оператора σ̂_z, которые мы обозначим |↑>, |↓>. Таким образом:

σ̂_z|↑> = +1 × |↑>, [1]

σ̂_z|↓> = -1 × |↓>. [1]

То, что собственных вектора только два, означает, что про­странство, в котором «живет» вектор состояния спина, дву­мерно, и мы знаем, как работать в этом пространстве. Припишем нашим векторам компоненты следующим обра­зом:

|↑> = (¹₀),

|↓> = (⁰₁).

Это соответствует тому, что мы выбрали указанные векто­ры в качестве базисных в рассматриваемом пространстве. Необходимые условия, как легко проверить, выполняются:

<↑|↑> = <↓|↓> = 1,

<↑|↓> = 0.

т. е. модуль этих векторов равен единице и они ортого­нальны.

Теперь нам надо найти матрицу оператора σ̂_z. Положим,

σ̂_z = (^a_c^b_d).

Запишем равенства [1] в матричной форме:

(^a_c^b_d) × (¹₀) = (¹₀),

(^a_c^b_d) × (⁰₁) = -(⁰₁),

Раскрыв эти равенства, получим:

(^a_c) = (¹₀),

(^b_d) = (⁰_-1).

Таким образом, a = 1, b = c = 0, d = -1.

Мы нашли матрицу оператора σ̂_z. И знаем два вектора со­стояния, отвечающие в реальном пространстве спину, ори­ентированному вдоль оси z и против оси z.

Произвольному спиновому состоянию |s> будет соответст­вовать суперпозиция этих состояний:

|s> = α₁ × (¹₀) + α₂ × (⁰₁) = (^α1_α2),

при этом должно быть:

|α₁|² + |α₂|² = 1. [2]

Если электрон находится в этом состоянии, то при измере­нии проекции спина на ось z (с помощью установки Штер­на-Герлаха) с вероятностью |α₁|² получим значение +1 (электрон отклонится вверх) и с вероятностью |α₂|² — зна­чение -1 (электрон отклонится вниз). При этом среднее значение проекции на ось z, вычисляемое по формуле <σ̂_z> = <s|σ̂_z|s>, окажется равным

<σ̂_z> = |α₁|² + |α₂|². [3]

Если состояние |s> соответствует спину, ориентированному под углом Ѳ к оси z в реальном пространстве, то следует ожидать, что среднее значение проекции спина на ось z бу­дет равно

<σ_z> = cos Ѳ. [4]

Из равенств [2] — [4] находим:

|α₁|² = cos²(Ѳ / 2),

|α₂|² = sin²(Ѳ / 2).

Это решение проблемы. Материал с сайта http://worldof.school

В одном из пучков спин направлен вверх, в дру­гом — вниз. А теперь воз­никает вопрос: что будет, если пучок со спином вверх снова пропустить через установку Штер­на-Герлаха, но с магнитным полем, повер­нутым на угол α относи­тельно оси z? Если бы это был пучок стальных намагниченных опилок, то пучок откло­нился бы на угол, пропор­циональный проекции момента на новое направ­ление поля, т. е. пропор­ционально cosα. Но для электронов это не так! Проекция спина (и магнитного момента) на любое направление мо­жет принимать лишь два значения — квантование проекции! — и никаких ко­синусов не должно быть. Пучок снова разделится на два пучка, а их интенсив­ность будет пропорцио­нальна вероятности того, что проекция спина примет то или иное значение. (Про­пускание электрона через установку — это способ измерения проекции спи­на.) Как определить интен­сивность пучков?

Если один пучок электронов, вышедший из установки Штерна-Герлаха со спинами, ориентированными вдоль оси z, пропустить через вторую установку, с магнитным по­лем под углом Ѳ к оси z, то он снова расщепится на два пуч­ка, интенсивность которых будет пропорциональна cos²(Ѳ / 2) и sin²(Ѳ / 2). Если Ѳ = π / 2, т. е. спин ориентирован поперек по­ля (и в этом случае поток классических частиц вообще бы не отклонялся), пучок электронов снова расщепится на два с одинаковой интенсивностью!

В опыте Штерна-Герлаха пучок частиц в магнитном поле разделяется на два пучка. Сразу возникает во­прос: по какому признаку происходит это разделе­ние. Следовало допустить, что частица (электрон) об­ладает некоторой характе­ристикой, принимающей лишь два значения. Одна­ко классическая физика не знала таких характери­стик.