Колебания кристаллической решетки. Нормальные колебания (моды)

При низких температурах закон Дюлонга-Пти не выполняется, теплоемкость переменна. Для объяснения такого поведения необходимо более подробно разобраться с колебаниями кристаллической решетки. Прежде всего заметим, что предположение о независимо­сти колебаний отдельных атомов решетки, очевидно, несправедливо для низких температур. Энергия тепловых колебаний невелика, и силы межатомно­го взаимодействия оказывают существенное влияние на движение отдельных атомов. Это приводит к сложному ха­рактеру колебаний, которые теперь не являются независи­мыми. Как распутать такую систему связанных колебаний? Такие задачи часто возникают в теории колебаний, и для их решения разработаны эффективные методы. Наиболее удобным для наших целей будет метод нормальных колеба­ний. Суть метода состоит в том, что вместо описания мно­жества колебаний отдельных атомов решетки рассматри­ваются колебания всей решетки в целом.

Модель одномерного кристалла в виде системы из одинаковых шариков

В качестве модели кристалла примем систему из одинако­вых шариков, соединенных невесомыми пружинками. Выберем простейшую модель, состоящую всего из трех шариков. Она, конечно, является не более чем карикату­рой на реальную кристаллическую решетку, но зато с ее помощью легко показать, как надо описывать сложные ко­лебания. Пусть концы A и B крайних пружин закреплены, а шарики могут перемещаться только в плоскости рисун­ка в направлениях, перпендикулярных линии AB.

На рисунке представлены все возможные нормальные попе­речные колебания (моды) такой цепочки.

Нормальными ко­лебаниями системы называют такие гармонические коле­бания, которые, во-первых, являются независимыми, а во-вторых, любое колебание может быть представлено как их сумма.

Цепочка, изображенная на рисунке, имеет три степени свободы, любое ее поперечное колебание можно предста­вить как объединение трех гармонических колебаний раз­ных амплитуд с частотами ω₁, ω₂, ω₃. Реальные трехмерные кристаллические решетки можно интерпретировать как трехмерные цепочки из шариков-атомов, связанных пру­жинками, которые в такой наглядной модели соответству­ют межатомным силам. Смещение (не обязательно продо­льное или поперечное) одного из атомов из положения равновесия приведет в движение соседние атомы. Колеба­ние, возникшее в одном месте кристалла, будет передавать­ся от атома к атому, т. е. по решетке побегут упругие волны, которые представляют собой не что иное, как звук.

В твердых телах могут распространяться звуко­вые волны двух типов — продольные и попереч­ные. Скорость поперечных волн всегда меньше ско­рости продольных волн. Так, в алюминии они рав­ны соответственно 3130 и 6400 м/с. Материал с сайта http://worldof.school

Мод колебаний одномерного кристалла

Модель колебаний трехмерного кристалла