Незамкнутые токи

Меняющееся во времени электрическое поле становится источником магнитного поля — т. е. возникает явление, аналогичное электромагнитной индукции. Электромагнит­ные волны — наиболее яркое выражение этого эффекта.

Пусть имеется плоский конденса­тор, образованный двумя проводящими дисками, к кото­рым вдоль оси симметрии подключены два длинных пря­мых проводника. По этим проводникам на конденсатор натекает заряд. Система обладает осевой симметрией, и си­ловые линии магнитного поля, создаваемого током в про­водниках, — окружности в плоскостях, ортогональных оси симметрии. Силовые линии магнитного поля охватывают проводник с током. Но будет ли магнитное поле, и если да, то какое, в пространстве между пластинами? Уравнение

∮_SB̅ × dl̅ = μ₀I,

которое позволяло найти магнитное поле, создаваемое замкнутыми квазистационарными токами, и в котором со­держится все, что было известно о связи между магнитным полем и током до Максвелла, здесь не срабатывает. Хуже того, оно дает внутренне противоречивый ответ на вопрос, правильный ответ на который известен.

К вычислению индукции магнитного поля: а — поверхность, опирающаяся на контур I, пересекающая проводник; б — поверхность, опирающаяся на тот же контур проведенная между пластинам конденсатора

Согласно этому уравнению, циркуляция индукции магнитно­го поля по замкнутому контуру равна силе тока через по­верхность, опирающуюся на этот контур. Выберем контур в виде окружности радиуса r, охватывающий проводник. Он совпадает с силовой линией поля, и для этого контура

∮B̅ × dl̅ = B(r)2πr. Материал с сайта http://worldof.school

Поверхность, опирающуюся на этот контур, «протыкает» проводник с током, и сила тока через поверхность равна силе тока в проводнике. Таким образом, найдем, что B(r) = μ₀I / 2πr. Это правильный результат (поле прямого провод­ника с током). То, что в разрыв проводника включен кон­денсатор, способный оказать влияние на поле, роли не иг­рает, если контур, на котором было найдено магнитное поле, взять достаточно далеко от конденсатора. Ясно, что этот результат не должен зависеть от выбора поверхности, опирающейся на контур. Он и не зависит, но есть одно ис­ключение. Мы можем провести поверхность через разрыв в проводнике, между пластинами конденсатора! Сила тока через эту поверхность равна нулю, и правильный результат не получается, но мы его хотя бы знаем. Ситуация будет еще хуже, если мы зададимся вопросом о поле между пла­стинами конденсатора.

Из соображений симметрии следует, что силовая линия по­ля между пластинами, если оно там есть, должна быть ок­ружностью. Взяв контур в виде окружности и снова приме­нив наше уравнение, найдем, что величина B(r)2πr должна равняться току через площадь контура. Но ток равен нулю, и магнитное поле между пластинами равно нулю. С другой стороны, если поверхность, опирающаяся на контур, охва­тывает пластину и пересекает проводник, ток через нее ра­вен I, и магнитное поле будет таким же, что и вне конденса­тора. В рассматриваемой ситуации уравнение не работает.