Плотность заряда и плотность тока

Электро­магнитное поле связано с распределением и движением за­рядов в пространстве. Как задать распределение заряда в пространстве? Выделим малый элемент объема ΔV в окрест­ности некоторой точки r̅. Заряд, находящийся в этом эле­менте, пропорционален величине объема и зависит от его местонахождения. Положим,

Δq = ρ(r̅)ΔV.

Введенная таким образом величина ρ(r̅) называется плот­ностью заряда в точке r̅.

Задание функции ρ = ρ(r̅, t) полностью описывает распре­деление заряда в пространстве в заданный момент времени t. Зная эту функцию, мы можем определить заряд Q, нахо­дящийся в любом объеме V. Объем разбивают на малые элементы и вычисляют сумму зарядов всех элементов. Та­кая сумма обозначается знаком интеграла:

Q = ∫_Vρ(r̅)dV.

На поле влияет не только плотность заряда в той или иной точке пространства, но и движение зарядов, которое харак­теризуется плотностью тока. В окрестности точки с ради­ус-вектором r̅ возьмем малый элемент объема ΔV. Умножим заряд каждой частицы, оказавшейся в данном элементе, на ее скорость и сложим найденные величины. Получим вектор­ную величину

Σq_iv̅_i.

Эта сумма пропорциональна элементу объема. Как и для за­ряда, коэффициент пропорциональности зависит от поло­жения элемента в пространстве, т. е. от вектора r̅. Поло­жим:

Σq_iv̅_i = j̅(r̅)ΔV.

Векторная величина j̅(r̅) называется плотностью тока в точке r̅. Если в окрестности точки r̅ взять малую площадку площадью ΔS, с единичным вектором нормали n̅, то ска­лярное произведение j̅ × n̅ в этой точке определяет заряд Δq, пересекающий площадку в направлении вектора нор­мали за малое время Δt:

Δq = j̅ × n̅ • ΔSΔt. [1]

Множитель перед Δt в правой части формулы [1] называет­ся силой тока через площадку ΔS. Это скалярная величина. Если взять кусок произвольной поверхности S, разбить его на малые элементы ΔS_i, вычислить по формуле [1] для каж­дого элемента заряд Δq_i и сложить полученные числа, то найденная таким образом величина Материал с сайта http://worldof.school

Δq = Σ_iΔq_i = ΔtΣj̅_i × n̅_i • ΔS_i.

будет представлять собой заряд, пересекший выбранный кусок поверхности за время Δt. Множитель, следующий за Δt в правой части этой формулы, называется силой тока че­рез поверхность S и обозначается буквой I. Заменив знак суммы знаком интеграла, запишем:

I = ∫_Sj̅ × n̅ • dS.